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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 31

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.

3 x + 6 y + x 2 y + 3 y x d y d x   = 0

Passo 1

Vamos utilizar o problema 24 para resolver nosso problema. Depois para resolvermos vamos aplicar a lógica de derivar e integrar nossas função. Segue o passo a passo para achar nossa solução durante nossa resolução.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

M x , y d x + N x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y M x , y - d d x N x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Pensando em usar a equação sugerida no exercício 24 para achar o fator integrante

μ y = exp ⁡ ∫ R t d t

Devemos primeiro determinar quem é nossa R ( t ) .

Assim vamos calcular

d d y M x , y - d d x N x , y = d d y ( 3 x + 6 y ) - d d x x 2 y + 3 y x

= - 6 y 2 - 2 x y - 3 y x 2 = 2 x 3 y - 3 y 3 - 6 x 2 x 2 y 2

Agora vamos tomar, assim como no exercício 24,

x M - y N = 3 x 2 + 6 x y - x 2 - 3 y 2 x

= 2 x 3 y - 3 y 3 + 6 x 2 x y

Assim temos

R x y = 2 x 3 y - 3 y 3 - 6 x 2 x 2 y 2 2 x 3 y - 3 y 3 + 6 x 2 x y = 1 x y

Tomando x y = t , então temos que

R x y = R t = 1 t

E desta forma

μ t = exp ⁡ ∫ 1 t   d t = exp ⁡ ln ⁡ t = t = x y = μ ( x y )

Assim nossa função se transforma e

3 x 2 y + 6 x + ( x 3 + 3 y 2 ) y ' = 0

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( 3 x 2 y + 6 x )

E

d d y Y x , y = ( x 3 + 3 y 2 )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ 3 x 2 y + 6 x d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Assim

Y x , y = x 3 y + 3 x 2 + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( x 3 + 3 y 2 ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y x 3 y + 3 x 2 + C ( y ) = x 3 + C ' y = ( x 3 + 3 y 2 )

Com

C ' y = 3 y 2

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = y 3 + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x 3 y + 3 x 2 + y 3 + C

Resposta

Y x , y = x 3 y + 3 x 2 + y 3 + C

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