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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 30

Encontre o valor de y 0 para o qual a solução do problema de valor inicial

y ' -   y = 1 + 3 s e n t ,         y 0 = y 0

Permanece finita quando t   →   ∞

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

  y ' - y = 1 + 3 s e n t          

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' - μ t   y = μ t 1 + 3 s e n t

De modo que

d μ t d t = - μ t   ⟹     d μ t μ t = - d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = - d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ - d t   ⟹   ln ⁡ μ t = - t   ⟹   μ t = e - t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' - μ t   y = μ t 1 + 3 s e n t   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t 1 + 3 s e n t   ⟹   d   μ t   y =   μ t 1 + 3 s e n t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e - t y =   ∫ e - t 1 + 3 s e n t d t =   - e - t - 3 2 e - t s e n t + c o s t   + C

y t = - 1 - 3 2 s e n t + c o s t   + C e t

y 0 = - 1 - 3 2 s e n 0 + c o s 0   + C = y 0

- 1 - 3 2 + C = y 0

C   =   y 0 + 5 2

y t = - 1 - 3 2 s e n t + c o s t   + y 0 + 5 2 e t

Logo, quando t   →   ∞

y t →   o s c i l a   e m   3 2 s e n t + c o s t    

Resposta

y t = - 1 - 3 2 s e n t + c o s t   + y 0 + 5 2 e t

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