Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 28
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de para o qual a solução toca, mas não cruza o eixo dos
Passo 1
Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:
O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.
Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:
No qual, a solução será dada pela fórmula:
Onde:
Passo 2
Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...
Primeiro, vamos achar o fator integrante
Como , essa integral será
Passo 3
Agora, vamos jogar dentro da fórmula da solução:
Vamos resolver essa integral! Podemos separá-la em duas:
A primeira é tranquila! Podemos fazer a substituição simples :
Voltando com :
Passo 4
A próxima integral será por partes! Faremos e :
Passo 5
Voltando com os resultados na fórmula:
Arrumando:
E agora vamos ao PVI, em que :
Prontinho! Acabou!