Considere o problema de valor inicial

y' + (2/3)y = 1 - (1/2)t, y(0) = y_0.

Encontre o valor de y_0 para o qual a solução toca, mas não cruza o eixo dos t.

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

No qual, a solução será dada pela fórmula:

y t = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Onde:

I x = e ∫ q t d t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

y ' + 2 3 y = 1 - 1 2 t

Primeiro, vamos achar o fator integrante

I x = e ∫ q t d t

Como q t = 2 / 3 , essa integral será

∫ 2 3 d t = 2 t 3

I x = e 2 t 3

Passo 3

Agora, vamos jogar dentro da fórmula da solução:

y t = 1 e 2 t 3 ∫ e 2 3 t   1 - 1 2 t d t + C

y ( t )   = 1 e 2 t 3 ∫ e 2 3 t - e 2 3 t t 2 d t + C

Vamos resolver essa integral! Podemos separá-la em duas:

∫ e 2 3 t - e 2 3 t t 2 d t = ∫ e 2 3 t d t - ∫ t 2 e 2 3 t d t

A primeira é tranquila! Podemos fazer a substituição simples u = 2 3 t → d u = 2 3 d t :

∫ e 2 3 t d t = ∫ 3 2 e u d u

∫ e 2 3 t d t = 3 2 e u

Voltando com t :

∫ e 2 3 t d t = 3 2 e 2 3 t

Passo 4

A próxima integral será por partes! Faremos u = t 2 → d u = 1 2 d t e d v = e 2 3 t → v = 3 2 e 2 3 t :

∫ t 2 e 2 3 t d t = t 2 3 2 e 2 3 t - ∫ 3 2 e 2 3 t 1 2 d t

∫ t 2 e 2 3 t d t = 3 t 4 e 2 3 t - 3 4 ∫ e 2 3 t d t

∫ t 2 e 2 3 t d t = 3 t 4 e 2 3 t - 3 4 3 2 e 2 3 t

∫ t 2 e 2 3 t d t = 3 t 4 e 2 3 t - 9 8 e 2 3 t

Passo 5

Voltando com os resultados na fórmula:

y ( t )   = 1 e 2 t 3 3 2 e 2 3 t - 3 t 4 e 2 3 t - 9 8 e 2 3 t + C

y ( t )   = 1 e 2 t 3 3 2 e 2 3 t - 3 t 4 e 2 3 t + 9 8 e 2 3 t + C

y ( t )   = 3 2 - 3 t 4 + 9 8 + C e 2 t 3

Arrumando:

y ( t )   = - 3 t 4 + 21 8 + C e - 2 t 3

E agora vamos ao PVI, em que y 0 = y 0 :

y 0 = - 3 0 4 + 21 8 + C e - 2 0 3 = y 0

21 8 + C = y 0

C = y 0 - 21 8

Substituindo na solução geral...

y ( t )   = - 3 t 4 + 21 8 + y 0 - 21 8 e - 2 t 3

y ( t )   = - 3 t 4 + 21 8 + y 0 - 21 8 e - 2 t 3

Tranquilo até aqui?

Passo 6

Agora temos que encontrar o valor de y 0 que faz com que a solução toca, mas não cruza oeixo t .

Isso acontece quando y t = 0 para um determinado t 1 .

y t = - 3 t 1 4 + 21 8 + y 0 - 21 8 e - 2 t 1 3 = 0

y 0 - 21 8 e - 2 t 1 3 = 3 t 1 4 - 21 8

8 y 0 - 21 e - 2 t 1 3 = 6 t 1 - 21

Derivando essa equação, temos que:

- 2 3 8 y 0 - 21 e - 2 t 1 3 = 6

e - 2 t 1 3 = - 9 8 y 0 - 21

Substituindo e - 2 t 1 3 em 8 y 0 - 21 e - 2 t 1 3 = 6 t 1 - 21 ...

8 y 0 - 21 - 9 8 y 0 - 21 = 6 t 1 - 21

- 9 = 6 t 1 - 21

t 1 = 2

E finalmente, substituindo t 1 = 2 na solução. Chegamos em:

- 3 2 4 + 21 8 + y 0 - 21 8 e - 2 2 3 = 0

y 0 - 21 8 e - 4 3 = - 9 8

y 0 - 21 8 = - 9 8 e 4 3

y 0 = - 9 8 e 4 3 + 21 8

Prontinho! Acabou!

Resposta

y ( t )   = - 3 t 4 + 21 8 + y 0 - 21 8 e - 2 t 3

y 0 = - 9 8 e 4 3 + 21 8

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