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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.6 - Ex. 6

(a) Encontre uma fórmula para a solução do problema de valor inicial e observe se ela é independente de λ .

(b) Use o método de Runge-Kutta com h   =   0,01 para calcular valores aproximados da solução em 0   ≤   t   ≤   1 para diversos valores de λ , como λ   =   1 ,   10 ,   20   e   50 .

(c) Explique as diferenças, se existirem, entre a solução exata e as aproximações numéricas.

y '   –   λ y   =   2 t   –   λ t 2   ,   y ( 0 )   =   0

Passo 1

(a) Precisamos resolver um problema y '   –   λ y   =   2 t   –   λ t 2   com a condição inicial y ( 0 ) =   0 . Primeiro, resolva a equação homogênea correspondente y   ' =   λ y , teremos que a solução é:

y h = c e λ t

Agora encontre a solução específica. É da forma y p = A + B t + C t 2 , uma vez que deve ser uma solução do problema inicial, substituímos pelo problema para encontrar A , B   e   C .

y ' –   λ y   =   2 t   –   λ t 2  

y p ' = λ y p + 2 t   –   λ t 2

B + 2 C t = 2 t -   λ t 2 + λ A + λ B t + λ C t 2

A = B = 0

C = 1

A solução do ODE inicial é dada como y = y h + y p , portanto, a solução geral é y t = c e λ t + t 2 . Mas temos uma condição inicial y ( 0 ) = 0 e podemos determinar c :

y 0 = c = 0

c = 0

A solução será:

y t = t 2

A solução não depende de λ .

Passo 2

(b) Usaremos λ = 1 Para este problema, usaremos:

y n + 1 = y n + h k n 1 + 2 h k n 2 + k n 3 + h k n 4 6  

Podemos ter então :

t 1 = t 0 + h = 0 + 0,01

k n 1 = f t n , y n

k n 2 = f t n + 0,5 h ; y n + 0,5 h k n 1

k n 3 = f ( t n + 0,5 h ; y n + 0,5 h k n 2

k n 4 = f ( t n + h ; y n + h k n 3

y 1 = y 0 + h k n 1 + 2 k n 2 + k n 3 + k n 4 6 = 0,01005

Repetimos os passos até encontrar y ( 1 ) :

Passo 3

Para valor de λ = 10 nós teremos:

Para valor de λ = 2 0 nós teremos:

Podemos ver que, embora a solução exata não dependa de   λ , a aproximação numérica se torna mais instável com o aumento de λ .

Resposta

y t = t 2

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