Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.

13. f x = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1 2 0 , 1 2 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Bom, para começarmos essa questão vamos precisar saber qual autofumção normalizada obtivemos na questão 4 dessa seção.

Ela foi:

ϕ n x = 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n

Na resolução da questão 4 dessa seção, tínhamos ainda que (retirada da questão 8 da seção 11.1) o autovalor satisfaz c o s λ n - λ n s e n λ n = 0

Passo 2

Bom, temos aqui da equação (34) desse livro que o coeficiente de expansão é dado por:

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

Do enunciado temos que f x = x

Então ficamos como:

= ∫ 0 1 2 ( 1 ) × 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n   d x + ∫ 1 2 1 ( 0 ) × 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n   d x

= ∫ 0 1 2 ( 1 ) × 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n   d x + 0

= 2 3 - c o s 2 λ n ∫ 0 1 2   c o s λ n x     d x

= 2 3 - c o s 2 λ n × s e n λ n 2 λ n

= 2 s e n λ n 2 λ n α n

Resposta

= 2 s e n λ n 2 λ n α n

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