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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 22

Em cada um dos problemas de 17 a 24 :

Encontre uma equação da forma H ( x ,   y )   =   c para as trajetórias.

d x d t = 2 x 2 y – 3 x 2 – 4 y ,     d y d t = - 2 x y 2 + 6 x y

Passo 1

Primeiro, devemos converter em uma EDO de primeira ordem e simplificar :

d x d t . d t d y = d y d x

Temos:

d y d t = - 2 x y 2 + 6 x y  

E também:

d t d x = 1 2 x 2 y – 3 x 2 – 4 y

Então:

d y d x = - 2 x y 2 + 6 x y 2 x 2 y – 3 x 2 – 4 y

Separando d x e d y :

2 x 2 y – 3 x 2 – 4 y d y = - 2 x y 2 - 6 x y   d x  

Integrando:

∫ ( 2 x 2 y – 3 x 2 – 4 y ) d y = ∫ - 2 x y 2 - 6 x y d x

x 2 y 2 - 3 x 2 y - 2 y 2 = - x 2 y 2 + 3 x 2 y + c

Isolando:

c = 2 x 2 y 2 - 6 x 2 y - 2 y 2

Então:

H x , y = x 2 y 2 - 6 x 2 y - y 2

Resposta

H x , y = x 2 y 2 - 6 x 2 y - y 2

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