Dado que x = φ(t), y = ψ(t) é uma solução do sistema autônomo

d x / d t = F(x, y), d y / d t = G(x, y)

para α < t < β , mostre que x = Φ(t) = ϕ(t - s), y = Ψ(t) = ψ(t - s) é uma solução para α + s < t < β + s para qualquer número real s .

Passo 1

Para mostrarmos que x   =   Φ ( t )   =   ϕ ( t   –   s ) ,   y   =   Ψ ( t )   =   ψ ( t   –   s ) é uma solução para   α   +   s   <   t   <   β   +   s para qualquer número real s , vamos fazer uma troca de variável:

t = t - s

Logo teremos:

x = ϕ t - s

E

y = ψ t - s

E a solução de:

d x d t - s = F x , y , d y d t - s = G x , y

No intervalo de α < t - s < β .

Note que é o mesmo intervalo de, α + s < t < β + s e tendo d t - s = d t e s como constante.

Consequentemente temos que x = Φ t e y = Ψ t é solução para o sistema no intervalo de α + s < t < β + s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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