Dado que   x   =   ϕ ( t ) ,   y   =   ψ ( t ) é uma solução do sistema autônomo

d x / d t   =   F ( x ,   y ) ,   d y / d t   =   G ( x ,   y )

para α   <   t   <   β , mostre que   x   =   Φ ( t )   =   ϕ ( t   –   s ) ,   y   =   Ψ ( t )   =   ψ ( t   –   s ) é uma solução para   α   +   s   <   t   <   β   +   s para qualquer número real s .

Passo 1

Para mostrarmos que x   =   Φ ( t )   =   ϕ ( t   –   s ) ,   y   =   Ψ ( t )   =   ψ ( t   –   s ) é uma solução para   α   +   s   <   t   <   β   +   s para qualquer número real s , vamos fazer uma troca de variável:

t = t - s

Logo teremos:

x = ϕ t - s

E

y = ψ t - s

E a solução de:

d x d t - s = F x , y , d y d t - s = G x , y

No intervalo de α < t - s < β .

Note que é o mesmo intervalo de, α + s < t < β + s e tendo d t - s = d t e s como constante.

Consequentemente temos que x = Φ t e y = Ψ t é solução para o sistema no intervalo de α + s < t < β + s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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7 - (d x)/(d t) = 2 x - x^2 - x y , (d y)/(d t) = 3 y - 2 y^2 - 3 x y
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12 - (d x)/(d t) = y , (d y)/(d t) = y - (1)/(6) x^3 - (1)/(5) y
10 - (d x)/(d t) = (2 + y) (y - x) , (d y)/(d t) = y ( 2 + x - x^2 )