Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 24 :

Encontre uma equação da forma H ( x ,   y )   =   c para as trajetórias.

d x d t =   y , d y d t = 2 x + y

Passo 1

Primeiro, devemos converter em uma EDO de primeira ordem e simplificar :

d x d t . d t d y = d y d x

Temos:

d y d t = 2 x + y  

E também:

d t d x = 1 y

Então:

d y d x = 2 x + y y

Separando d x e d y :

y   d y = 2 x + y   d x  

Integrando:

∫ y d y = ∫ ( 2 x + y ) d x

y 2 2 + c = x 2 + x y

Isolando:

c = 2 x 2 + x y - y 2

Então:

H x , y = 2 x 2 + 2 x y - y 2

Resposta

H x , y = 2 x 2 + 2 x y - y 2

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14 - (d x)/(d t) = ( 2 - x ) ( y - x ) , (d y)/(d t) = y ( 2 - x - x^2 )
18 - (d x)/(d t) = 2 y , (d y)/(d t) = - 8 x