Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α^2 u_{xx} = u_{t} que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0

Passo 1

Primeiro, expressamos a equação do calor como uma soma do estado estacionário e transitório:

u ( x , t ) = w ( x , t ) + v ( x )

Podemos construir a equação do calor em termos de w ( x , t ) e v ( x ) tomando derivadas da equação acima:

u t = w t

u x x = w x x + v x x

u t = α 2 u x x → w t = α 2 w x x + α 2 v x x

Sabemos que a parte estável da equação é igual a zero:

v x x = 0

v x = c 1

v = c 1 x + c 2

Passo 2

Usando as condições de contorno, podemos encontrar c 1 e c 2

Nota: w ( 0 , t ) = w ( L , t ) = 0

u x ( 0 , t ) = w x ( 0 , t ) + v x ( 0 ) = 0 → v x ( 0 ) = 0

c 1 0 + c 2 = 0 → c 2 = 0

u ( L , t ) = w ( L , t ) + v ( L ) = 0 → v ( L ) = 0

c 1 L + 0 = 0 → c 1 = 0

Resposta

v = 0

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