Considere uma barra uniforme de comprimento L com distribuição inicial de temperatura dada por f ( x ) ,0 ≤ x ≤ L . Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida a 0°C, enquanto a extremidade x = L está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela.Mostre que as soluções fundamentais da equação diferencial parcial e das condições de contorno são u n ( x , t ) = e - ( 2 n - 1 ) ² π ² α ² t 4 L ² s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] ,n = 1,2 , 3 , . . . . ² ² ² ² Encontre uma expansão em série formal para a temperatura u(x, t), u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n u n ( x , t ) que satisfaça, também, a condição inicial u(x, 0) = f(x).Sugestão: Embora as soluções fundamentais envolvam apenas senos ímpares, ainda é possível representar f por uma série de Fourier em senos envolvendo apenas essas funções. Veja o Problema 39 da Seção 10.4.

X ( 0 ) = 0 X ' ( L ) = 0 u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n e - ( 2 n - 1 ) ² π ² α ² t 4 L ² s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] ² ² ² ² c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] d x

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 15

Considere uma barra uniforme de comprimento L com distribuição inicial de temperatura dada por . Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida a 0°C, enquanto a extremidade x = L está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela.

Mostre que as soluções fundamentais da equação diferencial parcial e das condições de contorno são

Encontre uma expansão em série formal para a temperatura u(x, t),

que satisfaça, também, a condição inicial u(x, 0) = f(x).

Sugestão: Embora as soluções fundamentais envolvam apenas senos ímpares, ainda é possível representar f por uma série de Fourier em senos envolvendo apenas essas funções. Veja o Problema 39 da Seção 10.4.

Passo 1

Na letra a:

Vamos pegar nossas condições de contorno, separar as variáveis, substituir da equação de calor e obteremos 2 EDOs:

Para todo :

Passo 2

Para ,

Temos:

E a solução é:

Para

Temos:

E a solução é:

Para

Temos:

E a solução é:

Chegamos na solução depois de manipulações matemáticas chegamos em:

Passo 3

Na letra b:

Temos:

Sendo a solução do problema geral:

Resposta

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Em cada problema de 19 a 22, use a expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de contorno dado.20. u t = u x x + e - t ,u x 0 , t = 0 ,u x 1 , t + u 1 , t = 0 ,u x ,0 = 1 - x ; Veja

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u ( 0 , t ) = 30 ,u ( 40 , t ) =- 2

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u ( 0 , t ) = 10 ,u ( 50 , t ) = 40

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u ( 0 , t ) = 0 ,u x ( L , t ) = 0

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u ( 0 , t ) = T ,u x ( L ,t ) +u (