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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 15

Considere uma barra uniforme de comprimento L com distribuição inicial de temperatura dada por f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ L . Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida a 0°C, enquanto a extremidade x = L está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela.

  1. Mostre que as soluções fundamentais da equação diferencial parcial e das condições de contorno são u n ( x , t ) = e - ( 2 n - 1 ) ² π ² α ² t 4 L ² s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] ,   n = 1,2 , 3 , . . . .

  2. Encontre uma expansão em série formal para a temperatura u(x, t),

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n u n ( x , t )

que satisfaça, também, a condição inicial u(x, 0) = f(x).

Sugestão: Embora as soluções fundamentais envolvam apenas senos ímpares, ainda é possível representar f por uma série de Fourier em senos envolvendo apenas essas funções. Veja o Problema 39 da Seção 10.4.

Passo 1

Na letra a:

Vamos pegar nossas condições de contorno, separar as variáveis, substituir da equação de calor e obteremos 2 EDOs:

u ( 0 , t ) = 0 ,   u x ( L , t ) = 0 ,   t > 0

X ' ' + λ X = 0

T ' + α ² λ T = 0

X ( 0 ) T ( t ) = u ( 0 , t ) = 0

X ' ( L ) T ( t ) = u x ( L , t ) = 0

Para todo t > 0 :

X ( 0 ) = 0

X ' ( L ) = 0

Passo 2

Para λ   <   0 , λ = - μ ²

Temos:

X ' ' - μ ² X = 0

E a solução é:

X ' = μ k 1 c o s h ( μ x )   +   μ k 2 s e n h ( μ x )

Para λ = 0

Temos:

X ' ' = 0

E a solução é:

X ' = c 2

Para λ > 0 ,   λ = μ ²

Temos:

X ' ' + μ ² X = 0

E a solução é:

X ' = μ k 1 c o s ( μ x ) - μ k 2 s e n ( μ x )

Chegamos na solução depois de manipulações matemáticas chegamos em:

u n ( x , t ) = e - ( 2 n - 1 ) ² π ² α ² t 4 L ² s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] ,   n = 1,2 , 3 , . . . .

Passo 3

Na letra b:

Temos:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n u n ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n e - ( 2 n - 1 ) ² π ² α ² t 4 L ² s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ]

Sendo a solução do problema geral:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n e - ( 2 n - 1 ) ² π ² α ² t 4 L ² s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ]

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] d x

Resposta

  1. X ( 0 ) = 0

    2. X ' ( L ) = 0

  2. u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n e - ( 2 n - 1 ) ² π ² α ² t 4 L ² s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ]

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s e n [ ( 2 n - 1 ) π x 2 L ] d x

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