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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

4 ⋅ y ' ' - 9 ⋅ y = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

4 ⋅ r 2 - 9 ⋅ e r ⋅ t = 0

4 ⋅ r 2 - 9 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = 0 ± 144 8

Tendo como raízes r 1 = 3 / 2 e r 2 = - 3 / 2 . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e 3 2 t + c 2 ⋅ e - 3 2 t

Resposta

y = c 1 ⋅ e 3 2 t + c 2 ⋅ e - 3 2 t

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Resolva a equação diferencial. 25 y ' ' + 9 y = 0
4. Encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes cuja solução geral seja:a) k 1 + k 2 t e - 4 t b) k 1 e 3 t + k 2 e - 3 t c) k 1 e 2 t s e n4 t + k 2 e 2 t cos ⁡ 4 t .
3. Sejam m e n números reais distintos entre si. Provar que não existe nenhuma constante k tal que: e m t = k e n t , ∀ t ∈ R .
Responda aos problemas 1-10 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. Em alguns casos, pode haver mais de uma resposta correta.1. A única solução para y ' ' + x 2 y = 0