4. Encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes cuja solução geral seja:

a) k 1 + k 2 t e - 4 t

b) k 1 e 3 t + k 2 e - 3 t

c) k 1 e 2 t s e n   4 t + k 2 e 2 t cos ⁡ 4 t .

Passo 1

Bem... nessa questão nós vamos ver que cara tem a solução geral e tentar achar identificar qual é o caso, pra depois achar a equação diferencial.

a) nesse caso tem cara de ser um polinômio característimo que tem raízes complexas:

y t = k 1 e a t s e n   b t + k 2 e a t cos ⁡ b t

Onde a + b i e a - b i são as raízes do polinômio característico. E o polinômio característico fica:

r - a + b i r - a - b i = 0

Passando para a equação diferencial na forma de operador (que é só mudar o r por D , e multiplicar tudo por y .

( D - a + b i ) ( D - a - b i ) y = 0

Passo 2

Agora vamos botar a mão na massa.

k 1 e 2 t s e n   4 t + k 2 e 2 t cos ⁡ 4 t

Então as raízes do polinômio característico são:

x 1 = 2 + 4 i

x 2 = 2 - 4 i

Então a equação fica:

D - 2 + 4 i D - 2 - 4 i y = 0

D 2 - 4 D + 20 y = 0

Passando pra outra forma:

y ' ' - 4 y ' + 20 y = 0

Resposta

y ' ' - 4 y ' + 20 y = 0

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