Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 25a

Considere o problema de valor inicial.

Queremos explorar quão longo é o intervalo de tempo necessário para que a solução se torne “desprezível” e como esse intervalo depende do coeficiente de amortecimento γ. Mais precisamente, vamos procurar o instante τ tal que |s(t)| τ. Note que o amortecimento crítico para este problema ocorre quando γ = 2.

Seja γ = 0,25 e determine τ ou, pelo menos, estime-o de forma razoavelmente precisa a partir de um gráfico da solução.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

u = e r t

u ' = r e r t

u ' ' = r ² e r t

A amplitude do sistema é dada por:

r 2 e r t + γ r e r t +   e r t = 0

r ² + γ r + 1 = 0

r = - γ 2 ± i μ  

u t = e - γ t 2 2 cos ⁡ 4 - γ 2 2 t + 2 γ 4 - γ 2 sin ⁡ 4 - γ 2 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um peso de 312,5 g é atado a uma mola cuja constante de elasticidade vale 5 N m . O peso está acoplado a um dispositivo de amortecimento que oferece uma resistência igual a β ( β0 ) vezes a velocidade
Uma força de 2N distende uma mola em 1m . Um peso de 0,1k g é atado à mola e o sistema é então imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 vez a velocidade insta
No caso de movimento subamortecido, mostre que a razão entre os dois máximos (ou mínimos) consecutivos x n e x n + 2 é a constante x n x n + 2 = e 2 π λ ω 2 - λ 2 O número δ = ln ⁡ x n x n + 2 = 2 π λ
Use (16) para mostrar que, em (15), o intervalo de tempo entre duas interseções sucessivas com o eixo t é metade do quasi período
Use (17) para mostrar que o intervalo de tempo entre dois valores sucessivos de t nos quais o gráfico de (15) toca os gráficos de ± A . e - λ t é metade do quasi período