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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1p

Resolva a equação

p ) overset(¨)(y) + a y = 0 , o n d e a > 0 é u m a c o n s t a n t e

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) + a y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + a e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + a) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + a) = 0 -> lambda^2 + a = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 0 e c = a , assim:

lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (a)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 4 a))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

+- (sqrt(4 a i^2))/(2) = +- (sqrt(a ( 2 i )^2))/(2) = +- (2 sqrt(a))/(2) i = +- sqrt(a) i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

y (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = 0 e beta = sqrt(a)

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

y (t) = e^(0 t) [A cos sqrt(a) t + B sin sqrt(a) t] = A cos sqrt(a) t + B sin sqrt(a) t

Resposta

y (t) = A cos sqrt(a) t + B sin sqrt(a) t

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