Se usarmos, para esse caso que
y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(y) + a y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + a e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + a) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 + a) = 0 -> lambda^2 + a = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 0 e c = a < 0
, assim:
lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (a)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 4 a))/(2)
Porém, nesse caso temos que
- 4 a > 0
já que são dois valores negativos
( - 4 e a )
multiplicando, assim:
+- (sqrt(- 4 a))/(2) = +- (2 sqrt(- a))/(2) = +- sqrt(- a) ( s e n d o q u e - a > 0 )
Passo 2
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
y
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 != lambda_2
então podemos reescrever
y
como sendo:
y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)
Para o nosso caso:
lambda_1 = sqrt(- a) e lambda_2 = - sqrt(- a)
Assim, substituindo os valores de
lambda_1 e lambda_2
:
y (t) = [A e^(- sqrt(- a) t) + B e^(sqrt(- a) t)]