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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1q

Resolva a equação

q ) overset(¨)(y) + a y = 0 , o n d e a < 0 é u m a c o n s t a n t e

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) + a y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + a e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + a) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + a) = 0 -> lambda^2 + a = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 0 e c = a < 0 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (a)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 4 a))/(2)

Porém, nesse caso temos que - 4 a > 0 já que são dois valores negativos ( - 4 e a ) multiplicando, assim:

+- (sqrt(- 4 a))/(2) = +- (2 sqrt(- a))/(2) = +- sqrt(- a) ( s e n d o q u e - a > 0 )

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever y como sendo:

y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = sqrt(- a) e lambda_2 = - sqrt(- a)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

y (t) = [A e^(- sqrt(- a) t) + B e^(sqrt(- a) t)]

Resposta

y (t) = [A e^(- sqrt(- a) t) + B e^(sqrt(- a) t)]

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