Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 13
A equação diferencial de Laguerre 13 é
(a) Mostre que é um ponto singular regular.
(b) Determine a equação indicial, suas raízes e a relação de recorrência.
(c) Encontre uma solução Mostre que, se for um inteiro positivo, essa solução se reduzirá a um polinômio. Quando normalizado apropriadamente, esse polinômio é conhecido como o polinômio de Laguerre
Passo 1
(a ) A partir da equação dada, temos e . Os pontos singulares ocorrem quando , portanto, o ponto singular da equação dada é:
Para descobrir se é um ponto singular regular, verificamos se os seguintes limites são finitos:
Portanto, é um ponto singular regular.
Passo 2
(b) Agora assumimos que a solução é dada na forma:
A primeira derivada:
A segunda derivada é:
Se a nossa EDO está na forma:
Substituindo os termos na EDO, teremos:
Ao multiplicar os fatores pelos somatórios correspondentes, obtemos:
Agora ajustamos o índice dos dois primeiros somatórios para que neles expoente :
Passo 3
Avaliamos alguns termos para que todos os somatórios iniciem no índice e obtenham:
Combinando os termos, temos:
Ou seja, depois de simplificar:
Igualando os coeficientes de ambos os lados, obtemos:
Dividindo a última equação por e deslocando os índices, obtemos a equação de recorrência:
Desde que , nós obtemos a equação:
Onde as duas raízes são nulas, ou seja:
Passo 4
A relação de recuperação pode ser escrita como.
Portanto, escolhendo , a solução é igual a:
Resposta
(a) é um ponto singular regular.
(b) ,
(c)