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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 .

y n + 1 =   - 0,5 y n + 6

Descreva comportamento da solução quando n   →   ∞

Passo 1

Para resolver esse tipo de problema vamos analisar os casos iniciais e conjecturar uma solução, por exemplo:

y 1 = - 0,5 y 0 + 6

y 2 = - 0,5 y 1 + 6

y 3 = - 0,5 y 2 + 6

Portanto,

y 3 = - 0,5 - 0,5 y 1 + 6 + 6 = - 0,5 - 0,5 - 0,5 y 0 + 6 + 6 + 6 =

= - 1 2 3 + 6 1 - 1 2 + 1 2 2

Conjecturando para n:

y n = - 1 2 n y 0 + 6 1 - 1 2 + 1 2 2 ± … ± 1 2 n - 1 = - 1 2 n y 0 + 6 - 1 2 n - 1 3 2 =

= - 1 2 n y 0 + 4 + 4

Passo 2

Analisando n   →   ∞ , temos que - 1 2 n y 0 + 4 → 0 ,   logo y n → 4

Resposta

y n = - 1 2 n y 0 + 4 + 4

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