Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 .

y n + 1 = n + 3 n + 1 y n

Descreva comportamento da solução quando n   →   ∞

Passo 1

Para resolver esse tipo de problema vamos analisar os casos iniciais e conjecturar uma solução, por exemplo:

y 1 = 3 1 y 0

y 2 = 4 2 y 1

y 3 = 5 3 y 2

y 4 = 6 4 y 3

Portanto,

y 4 = 6 4 5 3 4 2 3 1 y 0 = ( 4 + 2 ) ( 4 + 1 ) 2 y 0

Conjecturando para n:

y n = ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2 y 0

Passo 2

Analisando n   →   ∞ , temos que ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2 → ∞ ,   logo y n → ∞

Resposta

y n = ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2 y 0

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