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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções.

y ' ' + 2 y = - x ,     y 0 = 0 ,         y ' 1 = 0

Sugestão: veja a Seção 11.2, Problema 7.

Passo 1

Primeiro vamos escrever essa equação na forma...

- y ' ' = 2 y + x

Procuramos a solução do problema dado como uma série em termos das autofunções normalizadas ϕ n do problema homogêneo associado:

y ' ' + λ y = 0

A solução dessa EDO aí, sabemos que é:

y = c 1 sin ⁡ λ x + c 2 cos ⁡ λ x

Aplicando as condições iniciais do problema:

y 0 = 0         →

c 1 sin ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0 = 0     →

c 2 = 0

E...

y = c 1 sin ⁡ λ x   →

y ' = λ c 1 cos ⁡ λ x

Aplicando a segunda condição de contorno ( y ' 1 = 0 )...

  y ' 1 = 0         →

λ c 1 cos ⁡ λ = 0

Para c 2 não ser 0 ...

λ = - π 2 + n π     →

λ = - π + 2 n π 2 = 2 n - 1 π 2

Ou seja, os autovalores desse problema homogêneo são...

λ n = 2 n - 1 2 π 2 2 2

As autofunções ϕ n são...

ϕ n = k n sin ⁡ λ x

Como temos que ter uma autofunção normalizada, de ϕ n , podemos ver na solução do exercício 7 da seção anterior, que tal autofunção é...

ϕ n = 2 sin ⁡ λ x

Com...

λ = 2 n - 1 π 2

Passo 2

Beleza! Agora vamos resolver a equação propriamente dita:

- y ' ' = 2 y + x

Esse 2 na frente do y é o μ do teorema e μ deve ser diferente de λ n . Como no nosso caso, para qualquer que seja o n , n 2 π 2 nunca vai ser igual a 2 , isto é:

μ ≠ λ n

Então a solução da não homogênea de acordo com o nosso capítulo é...

y x = ∑ n = 1 ∞ c n λ n - 2 ϕ n x

No nosso caso, temos lambda e temos ϕ :

y x = ∑ n = 1 ∞ c n 2 n - 1 2 π 2 2 2 - 2 2 sin ⁡ λ x

Falta encontramos o c n , neh?

Passo 3

O c n pode ser encontrado pela equação:

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

Onde f x = x (É a parte não homogênea da EDO que estamos trabalhando ).

No problema 7 , da seção anterior, já calculamos essa mesma integral para a mesma função ϕ n e f x = x e ela nos deu como resultado...

c n = 4 2 - 1 n + 1 2 n - 1 2 π 2

Logo, concluímos que a resposta da nossa EDO não homogênea será...

y x = ∑ n = 1 ∞ c n 2 n - 1 2 π 2 2 2 - 2 sin ⁡ λ x       →

y x = ∑ n = 1 ∞ 4 2 - 1 n + 1 2 n - 1 2 π 2 2 n - 1 2 π 2 2 2 - 2 2 sin ⁡ λ x       →

Simplificando isso aí...

y x = ∑ n = 1 ∞ 4 2 - 1 n + 1 2 n - 1 2 π 2 2 n - 1 2 π 2 + 8 4 2 sin ⁡ λ x       →

y x = ∑ n = 1 ∞ 32 - 1 n + 1 2 n - 1 2 π 2 2 n - 1 2 π 2 + 8 sin ⁡ λ x      

Resposta

y x = ∑ n = 1 ∞ 32 - 1 n + 1 2 n - 1 2 π 2 2 n - 1 2 π 2 + 8 sin ⁡ λ x      

Onde

λ = 2 n - 1 π 2

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