30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville

tem uma solução em termos de uma função de Green

Desde que não seja um autovalor de sujeita às condições de contorno . Além disso, é dada por

em que é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , e é o wronskiano de e .

(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).

(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).

(c) Prove que é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.

(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que .

(e) Verifique se na Eq. (iii), com dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).

Aqui nesse problema, vemos que a equação :

Tem sua solução na equação :

(que é a mesma equação de Green que chegamos no problema 28) onde é da forma como na equação :

Comparando o problema 28 revisado no passo 1, com o problema a equação de Liouville, chegaremos que no nosso caso temos:

Ou seja:

Dessa forma simplificamos a nossa função para:

Agora quem são e do problema 28?

Bem, pelo enunciado da nossa questão...

“ é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em ”.

No nosso caso...

A solução dessa EDO de segunda ordem homogênea é:

Logo, como a condição em do nosso problema é:

Ou seja, . Podemos escolher , por exemplo, já que o problema não foi muito específico.

Para o , do mesmo jeito, mas agora a solução deve satisfazer...

Que é a condição em , saca? Então...

Se escolhermos e de modo que...

Então será...

O bom de fazer escolha é que pelo seno da soma...

Sacou?

Beleza! Então chegamos às soluções:

Calculando o wronskiano delas:

Agora é só substituir, trocando o por onde tiver que trocar:

É exatamente o do problema 28 resumido no passo 1! O que comprova que de fato o a função de Green obtida no exercício 28 satisfaz as condições do problema 30 .