Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 30d
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville
tem uma solução em termos de uma função de Green
Desde que não seja um autovalor de sujeita às condições de contorno . Além disso, é dada por
em que é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , e é o wronskiano de e .
(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).
(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).
(c) Prove que é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.
(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que .
(e) Verifique se na Eq. (iii), com dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).
Passo 1
No item vimos que de fato sempre será uma constante que vou chamar aqui de para simplificar a notação. Então...
De fato dá uma enxugada bonita na equação né?
Passo 2
Perceba que essas duas definições de são perfeitamente simétricas. E, além disso, e variam ambos dentro do intervalo , e são ambos variáveis de modo que podemos perfeitamente chamar de e de , sem alterar de fato:
Viu só! Basicamente não mudou nada! Só mudaram de posição as duas funções. e pode até terem trocado no intervalo de definição também, mas na verdade tanto faz, porque ambos são desconhecidos e variam no dentro do mesmo . Então a gente conclui que:
Resposta
Questão de demonstração.