30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville

tem uma solução em termos de uma função de Green

Desde que não seja um autovalor de sujeita às condições de contorno . Além disso, é dada por

em que é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , e é o wronskiano de e .

(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).

(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).

(c) Prove que é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.

(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que .

(e) Verifique se na Eq. (iii), com dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).

Bem, a condição sobre as funções e que definem o wronskiano estão ambas relacionadas com a equação de Liouville quando :

Então...

Calculando essa derivada pela regra do produto...

Passando dividindo todo mundo, cegamos a:

Então, de acordo com o enunciado, e devem satisfazer essa equação e, além disso, estar relacionado com as condições iniciais do problema. Mas isso, não vem ao caso, o importante aqui é saber das duas formas de se calcular o wronskiano para duas soluções quaisquer dessa equação:

Essa é a forma mais clássica de se calcular o Wronskiano de duas funções, mas ele também pode ser dado pela equação:

Você se lembra dessa relação? é uma constante que depende do de partida das soluções. Bem, o legal dessa equação é que veja essa integral:

Uma primitiva para ela é:

Então...

Multiplicando agora o Wronskiano por ...

Veja então que de fato o produto é uma constante! A sua derivada então será: