Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 30c
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville
tem uma solução em termos de uma função de Green
Desde que não seja um autovalor de sujeita às condições de contorno . Além disso, é dada por
em que é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , é uma solução de satisfazendo a condição de contorno em , e é o wronskiano de e .
(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).
(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).
(c) Prove que é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.
(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que .
(e) Verifique se na Eq. (iii), com dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).
Passo 1
Bem, a condição sobre as funções e que definem o wronskiano estão ambas relacionadas com a equação de Liouville quando :
Então...
Calculando essa derivada pela regra do produto...
Passando dividindo todo mundo, cegamos a:
Então, de acordo com o enunciado, e devem satisfazer essa equação e, além disso, estar relacionado com as condições iniciais do problema. Mas isso, não vem ao caso, o importante aqui é saber das duas formas de se calcular o wronskiano para duas soluções quaisquer dessa equação:
Essa é a forma mais clássica de se calcular o Wronskiano de duas funções, mas ele também pode ser dado pela equação:
Você se lembra dessa relação? é uma constante que depende do de partida das soluções. Bem, o legal dessa equação é que veja essa integral:
Uma primitiva para ela é:
Então...
Multiplicando agora o Wronskiano por ...
Veja então que de fato o produto é uma constante! A sua derivada então será:
Resposta
Questão de demonstração.