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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores.

y ' ' + π 2 y = a ,         y ' 0 = 0 ,         y ' 1 = 0

Passo 1

A forma que queremos chegar quando reescrevemos a equação diferencial é:

- y ' ' = μ y + f ( x )

Observe que essa equação diferencia pode ser reescrita como

- y ' ' = π 2 y - a

O que significa então que temos μ = π 2 e f x = - a .

Além disso, podemos concluir ainda que μ = π 2 é um autovalor correspondente à autofunção ϕ 1 x = 2 cos ⁡ π x . Afinal, vimos no exercício 3 desta seção que as autofunções da equação homogênea y ' ' + λ y = 0 é:

ϕ 1 x = 2   cos ⁡ n π x

Onde os autovalores λ ...

λ n = n 2 π 2

Viu só! De fato para n = 1 temos o nosso μ = π 2 .

De acordo com a teoria, a solução então só vai existir então se f x e   ϕ 1 ( x ) forem ortogonais, o que significa que:

∫ 0 1 f x ϕ 1 x d x   = 0

Substituindo f e ϕ ...

∫ 0 1 - a 2 cos ⁡ π x     d x = 0

Igualando isso a 0 , resulta em:

0 = 0  

Isso significa que a é livre, ou seja, independente do valor que ele assuma essa EDO sempre admitirá solução .

Logo existe uma solução. Nesse caso a EDO é y ' ' + π 2 y = a

Passo 2

A solução complementar será:

y c x = c 1 cos ⁡ π x + c 2 sin ⁡ π x

A solução particular será:

y p x = A

Onde A uma constante. Derivando...

y p ' x = 0

y p ' ' x = 0

E substituindo na EDO:

y ' ' + π 2 y = a       →

π 2 A = a

Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontramos A = a π 2  

Então, para solução geral teremos:

y x = c 1 cos ⁡ π x + c 2 sin ⁡ π x + a π 2

Passo 3

Aplicando as condições de contorno

y ' 0 = 0 ,         y ' 1 = 0

Teremos...

y x = c 1 cos ⁡ π x + c 2 sin ⁡ π x + a π 2       →

y ' x = - π c 1 sin ⁡ π x + π c 2 cos ⁡ π x

y ' 0 = - π c 1 sin ⁡ 0 + π c 2 cos ⁡ 0   →

y ' 0 = π c 2   →

c 2 = 0

Logo, a solução do problema de valor de contorno é:

y x = c 1 cos ⁡ π x + a π 2

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ π x + a π 2

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