Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 e 10, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.

  1. Calcule ϕ 1 t , … , ϕ 3 t
  2. Faça o gráfico de ϕ 1 t , … , ϕ 3 t e observe se os iterados parecem estar convergindo.

y ' = 1 - y 3 ,       y 0 = 0

Passo 1

Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função y = ϕ ( t ) que satifaz o problema de valor inicial, então f t , ϕ t é uma função contínui que só depende de t . Logo, podemos integrar y ' = f t , y do ponto inicial t = 0 até um valor arbitrário de t , obtendo

ϕ t = ∫ 0 t f s , ϕ s d s

Em que usamos a condição inicial ϕ 0 = 0 . Usamos também s para denotar a variável de integração.

Passo 2

(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que

ϕ n t = ∫ 0 t f s , ϕ n - 1 s d s

Assim tomando que ϕ 0 s = 0

ϕ 1 t = ∫ 0 t 1 - ϕ 0 s 3 d s = t

Seguindo temos

ϕ 2 t = ∫ 0 t 1 - ϕ 1 s 3 d s = ∫ 0 t 1 - s 3 d s = t - t 4 4

ϕ 3 t = ∫ 0 t 1 - ϕ 2 s 3 d s = ∫ 0 t 1 - s - s 4 4 3 d s = ∫ 0 t 1 - s 3 - 3 s 6 4 + 3 s 9 16 - s 12 64 d s

= t - t 4 4 + 3 t 7 4 ⋅ 7 - 3 t 10 10 ⋅ 16 + t 13 13 ⋅ 64

Passo 3

(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que n = 1 → a z u l ,   n = 2 → L a r a n j a ,   n = 3 → V e r d e

Aparentemente não da para perceber se nossa função está tendendo a uma convergência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere a equação diferencial d y d x = 1 + y ² ²Determine uma região do plano x y tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) da região.
Formalmente, mostre que y = tan ⁡ x satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y 0 = 0 .
Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. d y d x = x - 1 . e y / ( x - 1 )
Nos problemas 17-20, verifique se o Teorema 2.1 garante unicidade de solução para a equação diferencial y ' = y 2 - 9 , passando pelo ponto dado. ( - 1,1 )
Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. d y d x - y = x