Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 10

Em cada um dos problemas de 9 e 10, seja e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.

Calcule

Faça o gráfico de e observe se os iterados parecem estar convergindo.

Passo 1

Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função que satifaz o problema de valor inicial, então é uma função contínui que só depende de . Logo, podemos integrar do ponto inicial até um valor arbitrário de , obtendo

Em que usamos a condição inicial . Usamos também para denotar a variável de integração.

Passo 2

(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que

Assim tomando que

Seguindo temos

Passo 3

(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que

Aparentemente não da para perceber se nossa função está tendendo a uma convergência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere a equação diferencial d y d x = 1 + y ² ²Determine uma região do plano x y tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) da região.

Formalmente, mostre que y = tan ⁡ x satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y 0 = 0 .

Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. d y d x = x - 1 . e y / ( x - 1 )

Nos problemas 17-20, verifique se o Teorema 2.1 garante unicidade de solução para a equação diferencial y ' = y 2 - 9 , passando pelo ponto dado. ( - 1,1 )

Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. d y d x - y = x