Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 6
Em cada um dos problemas de 3 a 6, seja e defina é pelo método das aproximações sucessivas.
- Determine para um valor arbitrário de
- Faça o gráfico de para Observe se os iterados parecer estar convergindo.
- Expresse em termos de funções elementares, ou seja, resolva o problema de valor inicial dado.
- Faça o gráfico de para , estime o intervalo em cada uma dessas funções é uma aproximação razoavelmente boa para a solução exata.
Passo 1
Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função que satifaz o problema de valor inicial, então é uma função contínui que só depende de . Logo, podemos integrar do ponto inicial até um valor arbitrário de , obtendo
Em que usamos a condição inicial . Usamos também para denotar a variável de integração.
Passo 2
(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que
Assim tomando que
Seguindo temos
Se seguimos com a integração vamos achar sempre o próximo elemento como
Assim temos que
Passo 3
(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que e
Passo 4
(c) Resolvendo o nosso problema de valor incial, temos que
Vamos trazer o para a esquerda e muitiplicar tudo por , assim teremos
O termo da esqueda podemos resumir em
Integrando tudo por temos que o termo da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, onde a integral da derivada de uma primitiva é a própria primitiva, ou seja
Integrando por partes, temos
O que implica em
Em
Então temos que
Passo 5
(d) Segue o mesmo padrões de cores do passo 3
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)