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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 4, verifique se (0, 0) é um ponto crítico, mostre que o sistema é localmente linear e discuta o tipo e a estabilidade do ponto crítico (0, 0) examinando o sistema linear correspondente.

1)

d x d t =   x   –   y 2 ,                   d y d t   =   x   –   2 y   +   x 2

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever o sistema na seguinte forma:

x ' = A x + g x

d d t x y = 1 0 1 - 2 x y + - y 2 x 2

Passo 2

Agora zerando a coluna x y = 0 , para verificar se ( 0,0 ) é um ponto crítico. Temos que ter o resultado igual vetor zero, vamos lá.

d d t x y = 1 0 1 - 2 ∙ 0 0 + - 0 2 0 2 = 0 0

Agora podemos identificar a nossa g x = - y 2 x 2 , para mostrar que g 1 x r → = 0 e   g 2 x r → = 0 .

Reescrevendo g x na forma polar temos, x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ .

g 1 x r = - y 2 r = - 1 ∙ r 2   s e n 2 θ r = - r   s e n 2   θ

Com r → 0 , temos:

g 1 x r = 0

g 2 x r = r 2 cos 2 ⁡ θ r = r cos 2 ⁡ θ

Com r → 0 , temos:

g 2 x r = 0

Bem isto é um ótimo sinal para dizer que o sistema quase linear, ou melhor, localmente linear. provamos que a origem é um ponto critico isolado do sistema linear.

Passo 3

Tendo nosso sistema homogêneo:

d d t x y = 1 0 1 - 2 x y

E equação característica dele é dada por:

det ⁡ A - r I = 1 0 1 - 2 - r 0 0 r

Efetuando a subtração e executando o determinante temos:

r 2 + r - 2 = 0

Com raízes características:

r 1 = 1 ,           r 2 = - 2

Consequentemente, os pontos críticos são de sela, oque é instável.

Resposta

Consequentemente, os pontos críticos são de sela, oque é instável.

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