Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 14
Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de . Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
Nesse problema temos uma questão de otimização. Queremos encontrar as dimensões que minimizam a quantidade de material usado na construção de uma caixa de base quadrada e sem tampa, com um volume de .
Para isso, precisamos escrever uma fórmula para a área total da caixa e para o seu volume. Considerando que é a medida do lado da base da caixa e a medida da altura da caixa, então a área da base da caixa é
e a área lateral da caixa é
Dessa forma, o volume da caixa é dado por:
Com isso, temos uma área total da caixa dada por:
Esse é um problema de otimização, né? Onde queremos minimizar o valor da função Para isso,
vamos encontrar o valor mínimo da função da seguinte forma:
- Escrevendo A em função apenas da variável .
- Derivando a função .
- Igualando a derivada de a zero.
- Avaliando a função no ponto crítico encontrado.
Vamos lá! 😊
Passo 2
Vamos colocar a função em função apenas da variável . Para isso, podemos isolar a altura na função do volume, ou seja,
Substituindo na fórmula da área, vamos ter que
ou seja
Passo 3
Agora, para encontrar o valor mínimo da área, precisamos derivar a função
e igualarmos a sua derivada a zero. Para isso, vamos utilizar a Regra do Quociente.
Relembrando a Regra do Quociente:
Então, derivando teremos:
ou seja,
Igualando a zero:
ou seja,
Isolando o termo , vamos ter:
Tirando a raiz cúbica, temos que:
Ou seja, é um ponto crítico da função
Passo 4
Agora que temos o ponto crítico podemos encontrar a altura a partir da equação do volume.
Substituindo em
temos:
Logo, a caixa deve ter uma base quadrada com lado igual a e uma altura , para que uma quantidade mínima de material seja utilizada.
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁
Resposta
A caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a e uma altura .