(a) Mostre que de todos os retângulos com uma área dada, aquele com menor perímetro é um quadrado

(b) Mostre que de todos os retângulos com um perímetro dado, aquele com menor área é um quadrado

(a) Seja a área dada do retângulo que tem como base e como altura. Daí, nós temos:

Isolando , ficamos com:

Agora, escrevendo uma expressão para o perímetro deste retângulo, somamos os comprimentos dos lados para obter:

Então, substituindo nessa equação do perímetro, teremos:

Agora vamos tentar encontrar o menor perímetro possível, através dos pontos críticos dessa equação. Para isso, vamos derivar a equação do perímetro, usando a regra do quociente:

Então, igualando isso a zero, temos:

Como o denominador não pode ser zero, ficamos com:

E isolando , vamos ter:

Agora substituindo o valor de em , encontramos:

Simplificando:

Logo, como , temos que este retângulo é um quadrado, como queríamos demonstrar.

Agora vamos resolver o item (b). Então, seja o perímetro dado de um retângulo que tem como base e como altura:

Isolando nessa equação, teremos:

Agora, escrevendo uma expressão para a área deste retângulo, ficamos com:

Substituindo , nessa equação da área, teremos:

Então, para encontrar a menor área possível, basta derivarmos e igualarmos a zero, de modo a descobrir os pontos críticos dessa equação. Assim, derivando usando a regra do quociente, temos:

E igualando a zero:

Então, isolando na equação, temos:

E substituindo o valor de na equação de encontrada no passo anterior, vamos ter:

Fazendo a divisão de frações:

Novamente os lados são iguais, ou seja, . Logo, temos que este retângulo é um quadrado, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉