Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 28
Caixa com vértice em um plano Encontre o volume da
maior caixa retangular fechada no primeiro octante, tendo três
faces nos planos coordenados e um vértice no plano x/a + y/b
+ z/c = 1, onde a > 0, b > 0 e c > 0.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Neste exercício encontraremos o volume da maior caixa fechada retangular no primeiro octante, possuindo três faces nos eixos dos planos de coordenadas e o vértice em , onde
Passo 2
O volume da caixa é dado pela função com todos positivos. Temos também que
Vamos rearranjar as funções, assim temos:
Calcularemos agora os gradientes para aplicarmos o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 3
Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:
Multiplicando a primeira função por , a segunda por e a terceira por chegamos em:
Passo 4
Assim, nossa conclusão é que .CommentStep 4 of 5Se então . Rearranjando as funções, chegamosa:
Substituindo em temos:
Resposta
Portanto, obtemos como resposta: o volume máximo será então .