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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 35

Mínima distância à origem Encontre o ponto mais próximo à origem na reta de interseção dos planos y + 2z = 12 e

x + y = 6

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos o ponto mais próximo da origem sobre a reta de interseção dos planos y + 2 z = 12 e x + y = 6 . Acompanhe!

Passo 2

Seja a função f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 o quadrado da distância até a origem. Iremos então minimizar esta função restringindo com as equações abaixo:

g 1 ( x , y , z ) = y + 2 z - 12 = 0 g 2 ( x , y , z ) = x + y - 6 = 0

Encontraremos os gradientes das funções para aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k ∇ g 1 = j + 2 k ∇ g 2 = i + j

Passo 3

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:

∇ f = λ ∇ g 1 + μ ∇ g 2 2 x = μ 2 y = λ + μ . 2 z = 2 λ

Usando os valores encontrados em g 1 ( x , y , z ) = y + 2 z - 12 = 0 , temos:

0 = y + 2 z - 12 0 = λ 2 + μ 2 + 2 λ - 12 5 2 λ + 1 2 μ = 12 5 λ + μ = 24

Agora, usando os mesmos valores em g 2 ( x , y , z ) = x + y - 6 = 0 teremos também que:

0 = x + y - 6 0 = μ 2 + λ 2 + μ 2 - 6 1 2 λ + μ = 6 λ + 2 μ = 12 .

Passo 4

Com as duas equações destacadas, chegamos à conclusão de que:

λ = 4 , μ = 4 . 

Com os valores λ = 4 , μ = 4 , encontramos os valores x , y e z :

x = μ 2 = 2 y = λ + μ 2 = 4 z = λ = 4

Resposta

Portanto, o ponto ( 2,4 , 4 ) sobre a reta de interseção é o mais próximo da origem.

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