Extremos em uma circunferência de interseção Encontre

os valores extremos da função ƒ(x, y, z) = xy + z2 na circunferência na qual o plano y – x = 0 cruza a esfera x2 + y2 + z2 = 4

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Passo 2

Começaremos reescrevendo as restrições:

g 1 ( x , y , z ) = y - x = 0 g 2 ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0

Passo 3

Calcularemos agora os gradientes das funções:

∇ f = y i + x j + 2 z k ∇ g 1 = - i + j ∇ g 2 = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange teremos:

∇ f = λ ∇ g 1 + μ ∇ g 2 y i + x j + 2 z k = λ ( - i + j ) + μ ( 2 x i + 2 y j + 2 z k )

Passo 4

Separando as componentes, teremos:

y = - λ + 2 x μ x = λ + 2 y μ 2 z = 2 z μ

Observe bem que z = 0 ou μ = 1 .Caso 1: Se z = 0 , então:

x 2 + y 2 - 4 = 0 2 x 2 - 4 = 0 ,  pois  y - x = 0  (enunciado) 

Isso nos leva então a:

x = ± 2 , y = ± 2

E teremos como pontos possiveis ( ± 2 , ± 2 , 0 ) .Agora, caso 2: Se μ = 1 , então:

y = - λ + 2 x x = λ + 2 y x + y = 2 ( x + y ) 2 x = 2 ( 2 x )  pois  y - x = 0 .

Passo 5

Só podemos ter como resposta possivel se x = 0 , levando também a y = 0 . Para z temos então:

z 2 - 4 = 0 z = ± 2

E teremos então como pontos possiveis ( 0,0 , ± 2 ) .Resposta: Para f ( 0,0 , ± 2 ) = 4 , sendo esse nosso valor máximo. f ( ± 2 , ± 2 , 0 ) = 2 , sendo esse nosso valor mínimo. ( 0,0 , ± 2 ) é o ponto onde ocorre o valor máximo. ( ± 2 , ± 2 , 0 ) é o ponto onde ocorre o valor mínimo.

Resposta

Resposta nos passos.

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