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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 23

Extremos em uma esfera Encontre os valores máximo e mínimo de

f ( x , y , z ) = x - 2 y + 5 z

na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 30

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos os valores máximo e mínimo da função f ( x , y , z ) = x - 2 y + 5 z sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 30 . Acompanhe!

Passo 2

Temos que, primeiramente, determinar o gradiente das funções, para aplicarmos o método dos multiplicadores de Lagrange, assim, obteremos:

∇ f = i - 2 j + 5 k ∇ g = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, termos:

∇ f = λ ∇ g i - 2 j + 5 k = λ ( 2 x i + 2 y j + 2 z k )

Vamos assim, separar as componentes, observe:

1 = 2 x λ   - 2 = 2 y λ 5 = 2 z λ

Passo 3

Observamos que: x = 1 2 λ , y = - 1 λ = - 2 x , z = 5 2 λ = 5 x Aqui, voltamos aos valores encontrados restrição, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 30 x 2 + ( - 2 x ) 2 + ( 5 x ) 2 = 30 .

Passo 4

Encontramos, então x = ± 1 . Substituindo, novamente em:

x = 1 2 λ , y = - 1 λ = - 2 x , z = 5 2 λ = 5 x

Obteremos os seguintes valores:

x = 1 , y = - 2 , z = 5 x = - 1 , y = 2 , z = - 5

Resposta

Portanto, para f ( 1 , - 2,5 ) = 30 , temos o valor máximo para a função.E para f ( - 1,2 , - 5 ) = - 30 temos o valor mínimo para a função.

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