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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 18

Máxima distância a um ponto Encontre o ponto na esfera

x2 + y2 + z2 = 4 mais distante do ponto (1, –1, 1).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos o ponto na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 mais distante do ponto ( 1 , - 1,1 ) . Acompanhe a resolução!

Passo 2

Seja f ( x , y , z ) = ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 o quadrado da distância em relação ao ponto pedido. Calcularemos, agora, os gradientes das funções para aplicarmos o método dos multiplicadores de Lagrange, observe:

∇ f = 2 ( x - 1 ) i + 2 ( y - 1 ) j + 2 ( z - 1 ) k ∇ g = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Passo 3

Aplicando, agora, o método dos multiplicadores de Lagrange, chegamos a:

∇ f = λ ∇ g x - 1 = λ x y + 1 = λ y z - 1 = λ z

Encontramos, então, que:

x = 1 1 - λ y = - 1 1 - λ ,  com  λ ≠ 1 z = 1 1 - λ

Voltando à equação x 2 + y 2 + z 2 = 4 , encontraremos que:

1 1 - λ 2 + - 1 1 - λ 2 + 1 1 - λ 2 = 4 1 1 - λ = ± 2 3

Passo 4

Assim, os valores que x , y e z podem assumir são:

x = 2 3 , y = - 2 3 , z = 2 3

Ou,

x = - 2 3 , y = 2 3 , z = - 2 3

Passo 5

Veja que o maior valor (ponto mais distante) ocorre quando:

x < 0 y > 0 z < 0

Ou seja, no ponto - 2 3 , 2 3 , - 2 3 sobre a esfera. Esta é a resposta para o nosso exercício.

Resposta

Resposta nos passos.

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