Exercícios de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições - Lista de Exercícios Resolvida

Determine o valor de máximo e de mínimo de sobre a curva de interseção das superfícies e

Seja

1. Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
2. Determine os pontos de mínimo e de máximo de no conjunto

Seja . Sabendo que é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de que estão mais próximos e mais distantes de .

Considere a função e a região . A função tem pontos de máximo e mínimo na região ? Caso afirmativo, encontre-os.

Determine os pontos de mais próximos e os mais distantes da origem sobre os seguintes conjuntos compactos:

Seja . Sabendo que é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de que estão mais próximos e mais distantes de .

Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de sobre os seguinte conjunto:

Considere a função e a região . A função tem pontos de máximo e mínimo na região ? Caso afirmativo, encontre-os.

Determine a menor e a maior distancia entre a origem e o compacto

Determine o valor de máximo e de mínimo de sobre a curva de interseção das superfícies e

Determine, caso existam, os pontos de máximo e mínimo da função sobre o conjunto .

Seja

1. Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
2. Determine os pontos de mínimo e de máximo de no conjunto

Seja . Encontre os pontos de máximo e mínimo de no conjunto e .

Seja . Obtenha os valores máximo e mínimo de no compacto e

Seja a função definida por

a) Calcule os pontos crítico de

b) Calcule o hessiano de

c) encontre os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela de f, caso existam. Calcule os respectivos valores de f em tais pontos.

d) Considere a curva do descrita pela equação . Utilize o método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de em C.

e) Considere a região do dada por:

Porque f admite valores de máximo e mínimo em A? utilize os itens c) e d) para determinar os valores máximo e mínimo de f em A.

A interseção entre plano e cone é uma elipse .

a) Esboce o cone, o plano e a elipse.

b) Determine os pontos na elipse que estejam mais próximo e mais distante da origem.

Dica: use a fórmula da distância no espaço com três dimensões. Para facilitar as contas, você pode elevar esta fórmula ao quadrado (explique o porquê).

Quais são os pontos da interseção entre o paraboloide e o que estão mais próximos da origem? Qual é esta menor distância?

Use o método dos multiplicadores de lagrange para determinar o ponto de máximo da função sobre a superfície

Encontre, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

Para pertencente à curva que é dada pela interseção do colindro

E o plano

O plano corta o cilindro . Determine o ponto desta intersecção que está mais próximo e o que está mais distante da origem.

Sejam e respectivamente, as distancias máxima e mínima entre os pontos que estão na interseção das superfícies

E a origem. É correto afirmar que:

1. e não existem

Um copo parabólico, cuja superfície é dada por

Contém um pouco de água e está fixo ao painel de um carro em movimento. Num certo momento, o carro freia constantemente, fazendo com que a água se desloque para frente de forma que a superfície da água pertença ao plano

No momento descrito, existe um ponto de mais alto em relação ao painel, que é o plano , e existe um ponto de mais baixo. Verifique se é possível aplicar o método de Lagrange para determinar tais pontos e as suas respectivas alturas em relação ao painel, e em caso afirmativo, proceda com o método.

DICA: perceba que a borda de é exatamente a interseção do paraboloide com o plano.

Sejam uma função de classe e restrições , ..., , em que são funções de classe com vetores gradientes calculados em linearmente independentes em cada . Se é um ponto de máximo de condicionalmente às referidas restrições,então:

1. é um ponto crítico de
2. é um ponto de máximo local de em
3. para certos
4. Os vetores gradiente de e , calculados em são linearmente independentes
5. Os vetores gradiente de e , calculados em são linearmente dependentes

Seja a curva de interseção entre as superfícies

E

Determine os pontos de que estão mais próximos da origem.

Seja

Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de mais próximos da origem.

Seja

Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de mais próximos da origem.

Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da elipse, determinada pela interseção do plano com o cilindro que estão mais próximo da origem e mais distante da origem.

Sejam e respectivamente, as distancias máxima e mínima entre os pontos que estão na interseção das superfícies

E a origem. É correto afirmar que:

1. e não existem

8 - Determine a equação do plano que passa pelo ponto e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume máximo.

Caminhando sobre a intersecção do elipsoide com o plano os pontos de menor distância à origem podem ser encontrados nas subsoluções do sistema de _____ equações e ____ incógnitas:

Determine, caso existam, os pontos do que pertencem à curva e que apresentam a maior e a menor distância, respectivamente ao plano . A curva é obtida pela interseção entre as superfícies e .

Obs.: Resolva a questão utilizando conhecimentos obtidos no Cálculo 2. Na resolução da questão não se pode fazer substituição de variável.

Encontre os valores máximo e mínimo da função

Sobre a curva de interseção do plano

Com o elipsoide

Considere a função e a região

b) Use multiplicadores de Lagrange para achar possíveis extremos de no contorno de .

Era uma vez um plano encantado. Neste plano, os habitantes eram os pontos. Um dia, um ponto cientista decidiu medir o quanto cada habitante era legal e criou uma função que media isso. A função era dada por

.

Quanto maior o valor de , mais legal o ponto era.

Utilize o Método de Multiplicadores de Lagrange, para determinar os pontos mais legais e mais chatos da curva de equação .

Era uma vez um plano encantado. Neste plano, os habitantes eram os pontos. Um dia, um ponto cientista decidiu medir o quanto cada habitante era legal e criou uma função que media isso. A função era dada por

.

Quanto maior o valor de , mais legal o ponto era.

Determine os pontos mais legais e mais chatos da região

.

10 - Considere a curva dada pela intersecção do cilindro de equação com o plano . Determine as distâncias máximas e mínimas dos pontos de ao plano .

Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem e a soma dos comprimentos de todas as arestas é

Dada a função , determine seus valores máximo e mínimo restritos a .

O valor máximo é:

E o valor mínimo é:

Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem e a soma dos comprimentos de todas as arestas é

Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem e a soma dos comprimentos de todas as arestas é

Determine os valores de máximo e mínimo da função em , em que . Você pode admitir, sem justificar, que o problema tem solução.

Seja a elipse determinada pela interseção das superfícies e . Determine o(s) ponto(s) de mais próximo(s) do ponto . Explicite a função utilizada e justifique todas as passagens.

O plano corta o paraboloide em uma elipse. Ache o ponto desta curva mais próximo da origem, e o mais distante. Use o método de Lagrange.

Sugestão: Esboce o gráfico.

Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo da função

Restrita aos pontos da curva dada pela interseção do plano

Com a esfera unitária

Determinar, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de no domínio . De acordo com sua resolução foi obtido:

Obs.: Usar Multiplicador de Lagrange para resolução

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

não existem valores de máximo absoluto e nem de mínimo absoluto de em

O valor Mínimo da função sobre a curva de interseções das superfícies e é ____.

Determinar, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de no domínio . De acordo com sua resolução foi obtido:

Obs.: Usar Multiplicador de Lagrange para resolução

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é

não existem valores de máximo absoluto e nem de mínimo absoluto de em

Enconte, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

Para pertencente à curva que é dada pela interseção do cilindro

E o plano

Seja . Considere a curva dada pela interseção das superfícies de equações e . Então, o valor máximo de em é:

5. Não sei