Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para exercício 9 da seção 5.1) , calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = x x + 1 no intervalo [ 0,2 ] , com n = 100 . Explique por que as estimativas mostram que

0,8946 < ∫ 0 2   x x + 1 d x < 0,9081

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos que resolver a soma de Riemann para a seguinte função:

f x = x x + 1

No intervalo de 0 até 2 . Faremos a soma a direita e a esquerda, usando um número de subintervalos n = 100 .Para isso, podemos usar uma calculadora programável, portanto, não precisamos de fato fazer as contas aqui.

Lembrando o que a soma de Riemann representa:

Ela é o cálculo da área de retângulos que são feitos em subintervalos do intervalo total. A altura do retângulo é o valor da função em um ponto do subintervalo e a base do retângulo é o comprimento do subintervalo, de forma que temos o seguinte somatório:

  S =   ∑ i = 1 n f x i * Δ x =    

Com

Δ x = b - a n  

Onde n   é o número de subintervalos. Δ x é o comprimento de cada subintervalo e a , b são os extremos do intervalo total.

x i * é um valor de x que pertence ao subintervalo. Na soma a direita, esse valor é escolhido como sendo o extremo direito do subintervalo e na soma a esquerda, esse valor é escolhido como sendo o extremo esquerdo do subintervalo.

Por fim, teremos que explicar por que que:

0,8946 < ∫ 0 2   x x + 1 d x < 0,9081

Bora lá?

Passo 2

Vamos fazer a soma de Riemann a esquerda. Usando uma calculadora programável e um software gráfico, temos o seguinte resultado:

(Como temos um número muito grande de subintervalo n = 100 , não dá nem pra ver esses retângulos, mas eles estão ali, pode acreditar.)

Pela esquerda, tivemos portanto o resultado:

S = 0,89

Já pela direita, temos o seguinte resultado:

S = 0,91

Todos os valores expressos na figura estão arredondados pelo computador.

Mas a condição que nos foi dada é sempre verdadeira, pois a área não é menor que 0,9 e não maior, então as somas tendem a ficar próximos o valor real.

Como podemos ver no gráfico, a função é crescente no intervalo dado.Dessa forma, uma soma de Riemann pela direita representa uma superestimativa para a área.

Enquanto, que uma soma de Riemann pela esquerda para uma função crescente representa uma subestimativa para a área.

E como a integral nada mais é do que essa área, vamos ter, portanto, que:

0,89 < ∫ 0 2   x x + 1 d x < 0,91

Vou colocar aqui uma função crescente e uma estimativa pela direita para provar que ela nos dá uma superestimativa:

E uma soma pela esquerda para provar que ela nos dá uma subestimativa:

E isso é válido para toda função crescente no intervalo.

Resposta

S = 0,89

S = 0,91

Como a função é crescente, temos que a soma pela esquerda é uma subestimativa para a área e a soma pela direita é uma superestimativa para a área. E como a área é dada pela integral, temos portanto que:

0,89 < ∫ 0 2   x x + 1 d x < 0,91

Os valores diferem dos dados no enunciado por conta da aproximação realizada pelo calculadora programável usada.

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