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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 32a

  1. Use substituição trigonométrica pra mostrar que

int (d x)/(sqrt(x^2 + a^2)) = ln (x + sqrt(x^2 + a^2)) + C

Passo 1

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

x = a tan (theta)

Diferenciando, temos que

d x = a sec^2 (theta)

Vamos simplificar a expressão que temos no denominador, pra isso, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: 1 + tan^2 (theta) = sec^2 (theta)

sqrt(x^2 + a^2) = sqrt(a^2 tan^2 (theta) + a^2) = sqrt(a^2 (1 + tan^2 (theta))) = sqrt(a^2 sec^2 (theta)) = a sec (theta)

Então, vamos substituir isso na nossa integral, daí ficamos com

int (d x)/(sqrt(x^2 + a^2)) = int (a sec^2 (theta))/(a sec (theta)) d theta = int sec (theta) d theta

Passo 2

Esta integral é tabelada, podemos resolvê-la rapidamente

int sec (theta) d theta = ln |sec (theta) + tan (theta)| + c_1

Agora, precisamos encontrar uma expressão para sec (theta) e tan (theta) . Antes dizemos que

x = a tan (theta)

Então

tan (theta) = (x)/(a)

Da expressão do denominador, vimos que

sqrt(x^2 + a^2) = a sec (theta)

Então, temos que

sec (theta) = (sqrt(x^2 + a^2))/(a)

Passo 3

Então, podemos substituir

ln |sec (theta) + tan (theta)| + c = ln |(sqrt(x^2 + a^2))/(a) + (x)/(a)| + c_1 = ln |sqrt(x^2 + a^2) + x| - ln (a) + c_1

Como a é uma constante , temos que

c_1 - ln (a) = C

Então

ln |sqrt(x^2 + a^2) + x| - ln (a) + c_1 = ln |sqrt(x^2 + a^2) + x| + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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