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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 8.d

8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:

(d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = x x 2 + y 2

f 2 = y x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = - x y x 2 + y 2 3 2

∂ f 2 ∂ x = - x y x 2 + y 2 3 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = = - x y x 2 + y 2 3 2 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos parametrizar a circunferência

r t = ( c o s t , s e n t )

Então

∫ C [ c o s t ( c o s t ) 2 + s e n t 2 ( - s e n t ) d t + s e n t ( c o s t ) 2 + s e n t 2 c o s t   d t ] , = ∫ C [ c o s t 1 ( - s e n t ) d t + s e n t 1 c o s t   d t ]

= 0

Resposta

0

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