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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 6

Provar a propriedade (a) da subseção 6 . 8 . 3 .

Passo 1

Vamos ver que propriedade é essa aí. Em vez de falar direto o que é pra provar, né? Fica obrigando a gente a voltar página, que coisa hahahah. A propriedade é a seguinte:

r o t (vec f + vec g) = r o t (vec f) + r o t (vec g)

Passo 2

Vamos desenvolver o lado esquerdo e ver se conseguimos chegar no lado direito da equação! Se a nossa função vec f = (f_1 , f_2 , f_3) e vec g = (g_1 , g_2 , g_3) , então:

vec f + vec g = (f_1 + g_1 , f_2 + g_2 , f_3 + g_3)

O rotacional de um campo vec f vai ser:

r o t vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]| = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Calculando o r o t :

r o t (vec f + vec g) = ((del ( f_3 + g_3 ))/(del y) - (del ( f_2 + g_2 ))/(del z)) vec i + ((del (f_1 + g_1))/(del z) - (del (f_3 + g_3))/(del x)) vec j + ((del (f_2 + g_2))/(del x) - (del (f_1 + g_1))/(del y)) vec k

A derivada da soma (ou da diferença) é a soma (ou a diferença) das derivadas. Assim,

r o t (vec f + vec g) = ((del f_3)/(del y) + (del g_3)/(del y) - (del f_2)/(del z) - (del g_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) + (del g_1)/(del z) - (del f_3)/(del x) - (del g_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) + (del g_2)/(del x) - (del f_1)/(del y) - (del g_1)/(del y)) vec k

Arrumando, jogando o que tem g pro final.

r o t (vec f + vec g) = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k + ((del g_3)/(del y) - (del g_2)/(del z)) vec i + ((del g_1)/(del z) - (del g_3)/(del x)) vec j + ((del g_2)/(del x) - (del g_1)/(del y)) vec k

E esses são os r o t s de vec f e vec g !

r o t (vec f + vec g) = r o t (vec f) + r o t (vec g)

Como a gente queria demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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