Provar a propriedade (a) da subseção 6.8.3 .

Passo 1

Vamos ver que propriedade é essa aí. Em vez de falar direto o que é pra provar, né? Fica obrigando a gente a voltar página, que coisa hahahah. A propriedade é a seguinte:

r o t f → + g → = r o t f → + r o t g →

Passo 2

Vamos desenvolver o lado esquerdo e ver se conseguimos chegar no lado direito da equação! Se a nossa função f → = f 1 ,   f 2 , f 3 e g → = g 1 , g 2 , g 3 , então:

f → + g → = f 1 + g 1 ,   f 2 + g 2 ,   f 3 + g 3

O rotacional de um campo f → vai ser:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Calculando o r o t :

r o t f → + g → = ∂ ( f 3 + g 3 ) ∂ y - ∂ ( f 2 + g 2 ) ∂ z i → + ∂ f 1 + g 1 ∂ z - ∂ f 3 + g 3 ∂ x j → + ∂ f 2 + g 2 ∂ x - ∂ f 1 + g 1 ∂ y k →

A derivada da soma (ou da diferença) é a soma (ou a diferença) das derivadas. Assim,

r o t f → + g → = ∂ f 3 ∂ y + ∂ g 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z - ∂ g 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z + ∂ g 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x - ∂ g 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x + ∂ g 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y - ∂ g 1 ∂ y k →

Arrumando, jogando o que tem g pro final.

r o t f → + g → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k → + ∂ g 3 ∂ y - ∂ g 2 ∂ z i → + ∂ g 1 ∂ z - ∂ g 3 ∂ x j → + ∂ g 2 ∂ x - ∂ g 1 ∂ y k →

E esses são os r o t s de f → e g → !

r o t f → + g → = r o t f → + r o t g →

Como a gente queria demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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