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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 19

Calcular ∬ R x d x d y , sendo R é a região do primeiro quadrante delimitada por x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 , y = x e y = 0 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Temos que:

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

1 ≤ r 2 ≤ 4

1 ≤ r ≤ 2

Desse modo, temos que:

1 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π / 4

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação dada, obtemos:

∫ 0 π 4 ∫ 1 2 r cos ⁡ θ ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 1 2 r 2 cos ⁡ θ   d r = r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

8 - 1 1 3 cos ⁡ θ = 7 3 cos ⁡ θ

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 4 7 3 cos ⁡ θ d θ = 7 3 s e n   θ

Aplicando os limites:

s e n π 4 - s e n   0 7 3 = 2 2 ⋅ 7 3 = 7 2 6  

Resposta

7 2 6

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