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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 7b

Sejam vec f = ( x z , z y , x y ) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) . Determinar:

grad * vec g

Passo 1

A questão nos pede pra calcular grad * vec g . Mas o que é isso? Simples, galera: é a divergência do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial vec g dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo vec g :

vec g (x , y , z) = g_1 (x , y , z) vec i + g_2 (x , y , z) vec j + g_3 (x , y , z) vec k

Que também pode ser escrito como:

vec g (x , y , z) = (g_1 , g_2 , g_3)

A divergência desse campo vai ser:

d i v vec g = (del g_1)/(del x) + (del g_2)/(del y) + (del g_3)/(del z)

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

vec g = (x^2 , y^2 , z^2)

Então,

g_1 = x z

g_2 = z y

g_3 = x y

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

(del g_1)/(del x) = (del ( x^2 ))/(del x) = 2 x

(del g_2)/(del y) = (del ( y^2 ))/(del y) = 2 y

(del g_3)/(del z) = (del ( z^2 ))/(del z) = 2 z

Passo 3

Juntando tudo:

d i v vec f = (del f_1)/(del x) + (del f_2)/(del y) + (del f_3)/(del z)

Substituindo,

d i v vec f = 2 x + 2 y + 2 z

Fechou!

Resposta

d i v vec f = 2 x + 2 y + 2 z

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