Calcular a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2= 4

Enunciado

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.

Não estamos construindo o Frankenstein, mas vamos por partes. Primeiro tome nossa função

Tendo assim como derivadas direcionais

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

Vamos usar coordenadas cilindras para nos ajudar a entender melhor nossas limitações, assim temos.

Assim nossa integral se transforma

Pela equação do cilindro que limita nossa esfera, temos que, ele está centrado no e de raio

Onde temos

Onde é o raio da esfera.

Vamos integrar?

Para a primeira parte, vamos fazer

Assim temos

Lembrando que

E assim caminhando

Que é o valor a parte interna que está acima do plano Então temos que a área total é o dobro do valor que obtivemos, ou seja