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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 11

Determinar a área da porção esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 cortada pela parte superior do cone x 2 + y 2 = z 2 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas x   e   y .

Seja f x , y = 4 - x 2 - y 2

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = - x 4 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y 4 - x 2 - y 2

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - x 4 - x 2 - y 2 2 + - y 4 - x 2 - y 2 2 = 2 4 - x 2 - y 2

Vamos usar coordenadas polares para nos ajudar a entender melhor nossas limitações, assim temos.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

E como estamos interessados na parte superior, temos que

z = + r

Assim nossa integral se transforma

A S = ∬ R 2 4 - x 2 + y 2 d x   d y = ∬ R 2 r 4 - r 2   d r   d θ

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. Queremos saber onde que nosso cone intercepta nossa esfera, ou seja, em que valor de z , que irá determinar o nosso raio máximo.

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → e s f e r a

x 2 + y 2 = z 2 → c o n e

Então

2 z 2 = 4 → z = 2 = r M a x

Assim temos que

r ∈ 2 , 0

Enquanto

θ ∈ 0,2 π

Passo 4

Vamos integrar?

A S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 4 - r 2     d r   d θ

Para a primeira parte, vamos fazer 4 - r 2 = u → r   d r = - d u / 2

Assim temos que em r = 0 → u = 4 e r = 2 → u = 2

A S = - ∫ 0 2 π ∫ 4 2 1 u   d u d θ = - 2 ∫ 0 2 π u 1 2 4 2 d θ

= 4 π 2 - 2

Resposta

4 π 2 - 2   u . a

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