Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 12
Determinar a área da porção do plano , cortada pelo cilindro .
Passo 1
De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por
Assim precisamos apenas conhecer nossa funções e nossos limites de integração.
Passo 2
Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas .
Seja
Tomando nossas derivadas direcionais, temos
e
Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em
Assim nossa integral se resume, por enquanto, a
Passo 3
Vamos agora verificar nossos limites de integração. Estamos limitados pela área projetada pelo cilindro. Assim fazendo a devida parametrização
Nosso se transforma em com nossos limites em e .
Passo 4
Vamos integrar?
Por fim ficamos com
Resposta
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Calcular ∫ ∫ S x 2 + y 2d S Onde S é a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 16
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