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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 11

11 . Calcule a área da superfície z = x 2 + y 2   compreendida entre os planos x + y = 1   ,   x + y = 2   ,   x = 0   e   y = 0

Passo 1

Pode até parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela dúvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz, temos então uma casca cônica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca cônica que vamos calcular

. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação do cone e projetar ela no plano XY

x 2   +   y 2 =   z 2  

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = x 2 + y 2      

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z x = x x 2 + y 2

z y = y x 2 + y 2

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + y x 2 + y 2 2 + x x 2 + y 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 d y d x

∫ ∫ R ' 2 d y d x

= 2 ∫ ∫ R ' d y d x

Beleza agora só precisamos encontrar o intervalo de integração e isso é dado pela nossa região que limita o cone

x + y = 1  

  x + y = 2  

  x = 0  

  y = 0

Essa região esquisita é essa seção em verde compreendida entre os planos ordenados

Como nossa integral tem esse formato

= 2 ∫ ∫ R ' d y d x

Logo o que estamos calculando é apenas uma área. Podemos fazer Por diferença de triângulos

A = 1 2 2 * 2 - 1 2 1 * 1

A = 2 - 1 2 → 3 2  

Assim a área da nossa superfície é

2 ∫ ∫ R ' d y d x → 2 * 3 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x = 3 2 2

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Uma lamina esférica é representada pela equação vetorial r →u , v = a cos ⁡ u c o s v, as e nu cos ⁡ v , as e nv 0 ≤ u ≤ 2 π - π 2 ≤ v ≤ π 2 Supondo a = 4 , representar sobre a esfera as curvas coorde
Uma superfície S é representada pela equação vetorial r →u , v= 4 cos ⁡ u ,4 s e nu,4 v 0 ≤ u ≤ 2 π 0 ≤ v ≤ 2 Determinar a equação cartesiana de SDesenhar sobre a superfície S as curvas coordenadas ob
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