3. Seja f   :   K   →   R de classe   C 1 no compacto K com fronteira de conteúdonulo e interior não vazio. Mostre que a área da superfície z = f   ( x ,   y ) (istoé, da superfície σ dada por x   =   u ,   y   =   v   e   z   =   f   ( u ,   v )) é dada pela fórmula

∫ ∫ K 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d x d z

Passo 1

Primeiro temos que pensar que a integral de superfície é :

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

OU seja é a integral do produto vetorial das derivadas parciais da função vetorial parametrizada – neste caso uma parametrização de uma superfície . (Maneira difícil de falar né . rsrs ) Mas olha, ate que não é tao complicado assim. Percebe só. No nosso caso r = y ( x , z ) então isso quer dizer que nossas variáveis são x e z

Logo nossas derivadas parciais serão

∂ r ∂ u =   ∂ y ( x , z ) ∂ x

= 1 , ∂ y ∂ x ,   0

∂ r ∂ v =   ∂ y ( x , z ) ∂ z

= 0 , ∂ y ∂ z , 1

Assim nossa integração fica

∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v     →   ∫ ∫ R 1 , ∂ y ∂ x ,   0   x 0 , ∂ y ∂ z , 1   d x d z    

Calculando esse rotacional obtemos

1 ,     ∂ y ∂ x ,     0   x   0 ,     ∂ y   ∂ z ,     1 = ∂ y ∂ x ,     - 1 ,     ∂ y ∂ z

E por fim nossa integração fica

∫ ∫ R ∂ y ∂ x ,     - 1 ,     ∂ y ∂ z   d x d z    

Nos resta só aplicar o modulo

∫ ∫ R ∂ y ∂ x 2   + 1 +   ∂ y ∂ z 2       d x d z    

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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