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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 22

Calcular a área da região do 1º quadrante delimitada pelas curvas y 2 = 8 a x , x + y = 6 a , y = 0 , sendo a uma constante positiva.

Passo 1

A área entre curvas se dá pelo seguinte gráfico:

Passo 2

A equação da área se dá:

A = ∬ d A

Utilizando as informações obtidas, temos:

y 2 8 a ≤ x ≤ 6 a - y

0 ≤ y ≤ 4 a

Assim, a equação da área fica:

A = ∬ d A = ∫ 0 4 a ∫ y 2 8 a 6 a - y d x d y

Passo 3

Integrando para x :

∫ y 2 8 a 6 a - y d x = x

Aplicando os limites:

6 a - y - y 2 8 a = 6 a - y - y 2 8 a

Passo 4

Integrando para y :

∫ 0 4 a 6 a - y - y 2 8 a d y = 6 a y - y 2 2 - y 3 24 a

Aplicando os limites:

4 a - 0 ⋅ 6 a - 16 a 2 - 0 ⋅ 1 2 - 64 a 3 - 0 ⋅ 1 24 a =

24 a 2 - 8 a 2 - 8 3 a 2 = 72 - 24 - 8 3 a 2 = 40 3 a 2

Resposta

40 3 a 2   u . a .

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