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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 2c

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 , 1 ] , y varia de 1 - sqrt(1 - x^2) a 1 + sqrt(1 - x^2) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 1 , 1 - sqrt(1 - x^2) <= y <= 1 + sqrt(1 - x^2)}

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada por um círculo. Então, fazendo:

y = 1 +- sqrt(1 - x^2) -> y^2 - 2 y + 1 = 1 - x^2 -> x^2 + y^2 = 2 y

E

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d y d x = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d y d x = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto como B é mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

x^2 + y^2 = 2 y -> rho^2 c o s^2 theta + rho^2 s e n^2 theta = 2 rho s e n theta

:. rho = 2 s e n theta

E:

0 <= theta <= (pi)/(2)

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 2 s e n theta e 0 <= theta <= (pi)/(2)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (x y) d y d x = int int_B_rho theta (rho^2 s e n theta c o s theta) rho d rho d theta

= int_0^(pi // 2) s e n theta c o s theta [int_0^(2 s e n theta) (rho^3) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_0^(pi // 2) s e n theta c o s theta [(rho^4)/(4)] | [[2,s,e,n,theta],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= int_0^(pi // 2) s e n theta c o s theta [(16 s e n^4 theta)/(4)] d theta = 4 int_0^(pi // 2) s e n^5 theta c o s theta d theta

Passo 4

Resolvendo a integral pelo método da substituição simples com u = s e n theta e d u = c o s theta d theta , então:

Quando theta = pi // 2 -> u = 1

Quando theta = 0 -> u = 0

Dessa forma:

= 4 [int u^5 d u] | [[1],[0]] = 4 [(u^6)/(6)] | [[1],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (2)/(3) [1 - 0] = (2)/(3)

Resposta

(2)/(3)

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