Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 2c
Calcule
Passo 1
Neste caso, o conjunto deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que varia de a , para cada valor de fixo em , varia de a . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:
Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada por um círculo. Então, fazendo:
E
Pretende-se determinar o resultado da transformação:
Dada por:
Então:
Portanto:
Passo 2
Agora, deve se determinar o conjunto , onde . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto como é mostrado no esboço a seguir:
Então as novas variáveis serão dadas por:
E:
Dessa forma, tem-se:
Passo 3
Logo, mudando a variável na integral dupla:
E, resolvendo-a:
Substituindo o intervalo de integração:
Passo 4
Resolvendo a integral pelo método da substituição simples com e , então:
Quando
Quando
Dessa forma:
Substituindo o intervalo de integração: