Calcular os seguintes limites usando a proposição :
a)
Passo 1
A proposição diz que se e é uma função limitada em uma bola aberta de centro em , então
Passo 2
Queremos então provar que , para isso vamos separar em duas funções, uma e uma , onde provaremos que a e que a é limitada.
Vamos considerar e
Passo 3
Primeiro calculamos o limite de , assim temos:
Passo 4
Agora temos que provar que é limitada. Para isso podemos dizer o seguinte:
Podemos dizer que:
e
Com isso podemos fazer a seguinte inequação:
Dessa forma provamos que a é uma função limitada.
Passo 5
Pelo passo 3 e pelo passo 4 temos que e que é limitada, assim pela proposição