Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 19a
Calcular os seguintes limites usando a proposição :
a)
Passo 1
A proposição diz que se e é uma função limitada em uma bola aberta de centro em , então
Passo 2
Queremos então provar que , para isso vamos separar em duas funções, uma e uma , onde provaremos que a e que a é limitada.
Vamos considerar e
Passo 3
Primeiro calculamos o limite de , assim temos:
Passo 4
Agora temos que provar que é limitada. Para isso podemos dizer o seguinte:
Podemos dizer que:
e
Com isso podemos fazer a seguinte inequação:
Dessa forma provamos que a é uma função limitada.
Passo 5
Pelo passo 3 e pelo passo 4 temos que e que é limitada, assim pela proposição
Resposta
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Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: e) f x ,y = x 3 + y 3 x 3 - y 3 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :c) lim x → 0 y → 0 x 2 y x 2 + y 2
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:f) lim x → 0 y → 1 x 2 + y 2 - x y + 7 x 3 + y 3 - 7