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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 2e

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a a , para cada valor de x fixo em [ 0 , a ] , y varia de 0 a sqrt(a^2 - x^2) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= a , 0 <= y <= sqrt(a^2 - x^2)}

Dessa forma, vê-se que ele representa um círculo de raio r = a .

Fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original.

Fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando y = 0 -> rho = 0

Quando y = sqrt(a^2 - x^2) -> rho = a

E, como o intervalo 0 <= x <= a representa o primeiro quadrante do círculo, logo:

0 <= theta <= (pi)/(2)

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= a e 0 <= theta <= (pi)/(2)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (sqrt(a^2 - x^2 - y^2)) d y d x = int int_B_rho theta (sqrt(a^2 - rho^2 c o s^2 theta - rho^2 s e n^2 theta)) rho d rho d theta

= int_0^(pi // 2) [int_0^a (rho sqrt(a^2 - rho^2)) d rho] d theta

E, resolvendo-a pelo método da substituição simples com u = a^2 - rho^2 e d u = - 2 rho d rho , tal que:

Quando rho = a -> u = 0

Quando rho = 0 -> u = a^2

= int_0^(pi // 2) [int sqrt(u) (- (d u)/(2))] | [[0],[a^2]] d theta = (- (1)/(2)) int_0^(pi // 2) [(2)/(3) u^(3 // 2)] | [[0],[a^2]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= (- (1)/(3)) int_0^(pi // 2) [0 - a^3] d theta

= (a^3)/(3) int_0^(pi // 2) 1 d theta

Passo 4

Dessa forma:

= (a^3)/(3) [theta] | [[pi,//,2],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (a^3)/(6) pi

Resposta

(a^3)/(6) pi

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