Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a a , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   a ] , y varia de 0 a a 2 - x 2 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ a 2 - x 2

Dessa forma, vê-se que ele representa um círculo de raio r = a .

Fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original.

Fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando y = 0 → ρ = 0

Quando y = a 2 - x 2 → ρ = a

E, como o intervalo 0 ≤ x ≤ a representa o primeiro quadrante do círculo, logo:

0 ≤ θ ≤ π 2

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ a   e   0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B a 2 - x 2 - y 2   d y d x = ∫ ∫ B ρ θ a 2 - ρ 2 c o s 2 θ - ρ 2 s e n 2 θ   ρ d ρ d θ

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ρ a 2 - ρ 2 d ρ d θ

E, resolvendo-a pelo método da substituição simples com u = a 2 - ρ 2 e d u = - 2 ρ d ρ , tal que:

Quando ρ = a → u = 0

Quando ρ = 0 → u = a 2

= ∫ 0 π / 2 ∫ u - d u 2 | 0 a 2 d θ = - 1 2 ∫ 0 π / 2 2 3 u 3 / 2 | 0 a 2 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= - 1 3 ∫ 0 π / 2 0 - a 3 d θ

= a 3 3 ∫ 0 π / 2 1 d θ

Passo 4

Dessa forma:

= a 3 3 θ | π / 2 0

Substituindo o intervalo de integração:

= a 3 6 π

Resposta

a 3 6 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados