7. Determinar o trabalho realizado pela força f → x , y , z = ( y , x , z 2 ) para deslocar a partícula ao longo da hélice dada por r → t = ( 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   2 t ) do ponto A ( 2,0 , 0 ) ao ponto B ( 2,0 , 4 π ) .

Passo 1

Bom! O que nós queremos é calcular a seguinte integral de linha:

∫ C F → x , y d r →

E para resolver integrais de linha, como nos é pedido aqui nesse problema, sempre é necessário seguir três passinhos. O primeiro passo é achar a curva parametrizada, que para nossa imensa alegria e felicidade, o próprio problema já nos fornece.

Bom! A curva tem a seguinte cara:

r → t = ( 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   2 t )

E dela tiramos que:

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

z = 2 t

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização.

Olha só! A nossa função é dada por:

f → x , y , z = ( y , x , z 2 )

E para fazer a troca na função para os termos parametrizados, basta realizar a substituição no x , y e z com os valores que temos lá do P a s s o   1 :

f → x , y , z = ( 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 4 t 2 )

Pronto! Já temos uma função inteira em termos de t .

Passo 3

O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = r ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de r → t . Vamos lá:

r ' t = ( - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   2 )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C F → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 F → x , y d r →

Pera! Mas o que são esses limites de integração?

Presta atenção! A questão nos diz que a partícula é deslocada ao longo da hélice dada por r → t = ( 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   2 t ) do ponto A ( 2,0 , 0 ) ao ponto B ( 2,0 , 4 π ) . Então, o que precisamos fazer é apenas ver quais valores de t irão atender os valores desses pontos.

Para o ponto A :

2 cos ⁡ t = 2

t = cos - 1 ⁡ 1

t = 0

E temos que ver se o nosso ponto é satisfatório, verificando se ele é igual para os outros termos de t . Vamos lá! Testemos esse ponto para 2 sen ⁡ t :

2 sen ⁡ 0 = 0

E depois para 2 t :

2 t = 2 ⋅ 0 = 0

Para o ponto B :

2 cos ⁡ t = 2

t = cos - 1 ⁡ 1

t = 2 π

E fazendo o nosso teste mais uma vez:

2 sen ⁡ 2 π = 0

2 t = 2 ⋅ 2 π = 4 π

Vemos que deu tudo certo! Aí sim!

Que beleza! Encontramos os nosso dois pontos de interesse! Nossa integração, então, vai de 0 até 2 π :

∫ 0 2 π F → x , y d r → =

= ∫ 0 2 π 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 4 t 2 ∙ ( - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   2 ) d t =

= ∫ 0 2 π - 4   s e n 2 t +   4 c o s 2 t + 8 t 2 d t =

= ∫ 0 2 π ( 4 ( c o s 2 t -   s e n 2 t ) + 8 t 2 ) d t

Só que   c o s 2 t -   s e n 2 t = cos ⁡ 2 t :

∫ 0 2 π 4 ( c o s 2 t -   s e n 2 t ) + 8 t 2 d t = ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t + 8 t 2 d t =

= s e n   2 t 2 + 8 3 t 3 0 2 π = s e n   4 π 2 + 8 3 ( 2 π ) 3 - 0 =

= 64 π 3 3

Resposta

T r a b a l h o   R e a l i z a d o = 64 π 3 3

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