Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 7

7. Determinar o trabalho realizado pela força para deslocar a partícula ao longo da hélice dada por do ponto ao ponto .

Passo 1

Bom! O que nós queremos é calcular a seguinte integral de linha:

E para resolver integrais de linha, como nos é pedido aqui nesse problema, sempre é necessário seguir três passinhos. O primeiro passo é achar a curva parametrizada, que para nossa imensa alegria e felicidade, o próprio problema já nos fornece.

Bom! A curva tem a seguinte cara:

E dela tiramos que:

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização.

Olha só! A nossa função é dada por:

E para fazer a troca na função para os termos parametrizados, basta realizar a substituição no , e com os valores que temos lá do :

Pronto! Já temos uma função inteira em termos de .

Passo 3

O passo número três consiste em encontrar o termo fazendo:

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

Pera! Mas o que são esses limites de integração?

Presta atenção! A questão nos diz que a partícula é deslocada ao longo da hélice dada por do ponto ao ponto . Então, o que precisamos fazer é apenas ver quais valores de irão atender os valores desses pontos.